SCERT Class 10 Advanced Mathematics জটিল সংখ্যা Exercise 2.1 সমাধান (Assamese Medium) – এখানে অসমীয়া মাধ্যমৰ বাবে জটিল সংখ্যাৰ অধ্যায়ৰ সম্পূৰ্ণ সমাধান উপলব্ধ। অধ্যায়ভিত্তিক স্পষ্ট ব্যাখ্যা আৰু ধাপে ধাপে সমাধানৰ সহায়ত অধ্যয়ন কৰক।

 

Follow Us

FaceBook	Join Now
WhatsApp	Join Now
Telegram	Join Now

 

 

SCERT Class 10 Adv. Mathematics : Complex Numbers

    অসম মাধ্যমিক শিক্ষা পৰিষদ (SEBA) অসমৰ দশম শ্ৰেণীৰ শিক্ষাৰ বাবে পাঠ্যক্ৰম নিৰ্ধাৰণ, পৰীক্ষা পৰিচালনা আৰু প্ৰমাণপত্ৰ প্ৰদান কৰে। এই পৰ্যায়ত শিক্ষাৰ্থীসকলে বিভিন্ন বিষয় অধ্যয়ন কৰে, যেনেঃ অসমীয়া, ইংৰাজী, গণিত, বিজ্ঞান, সমাজ বিজ্ঞান, আৰু বাণিজ্যিক শিক্ষা। পাঠ্যক্ৰম আৰু পাঠ্যপুথি

 

   SEBA-ৰ দ্বাৰা প্ৰদান কৰা পাঠ্যক্ৰমৰ অধীনত দশম শ্ৰেণীৰ শিক্ষাৰ্থীসকলে নিম্নলিখিত বিষয়সমূহ অধ্যয়ন কৰে

• অসমীয়া : এই বিষয়ত অসমীয়া সাহিত্য, ব্যাকৰণ আৰু ৰচনা অন্তৰ্ভুক্ত থাকে।  
• ইংৰাজী : ইংৰাজী ভাষাৰ সাহিত্য আৰু ব্যাকৰণৰ অধ্যয়ন কৰা হয়।  
• গণিত : বাস্তৱ সংখ্যা, বহুপদ, ত্ৰিকোণমিতি, স্থানাংক জ্যামিতি, বৃত্ত, পৰিসংখ্যা আদি অধ্যায় অন্তৰ্ভুক্ত।  
• বিজ্ঞান : ৰসায়ন, জীৱবিজ্ঞান, পদাৰ্থ বিজ্ঞান আৰু পৰিৱেশ বিজ্ঞানৰ বিভিন্ন অধ্যায় অন্তৰ্ভুক্ত।  
• সমাজ বিজ্ঞান : ইতিহাস, ভূগোল, ৰাজনীতি বিজ্ঞান আৰু অৰ্থনীতিৰ অধ্যয়ন কৰা হয়।  
• উচ্চ গণিত : সিদ্বান্ত, সমীকৰণ, পৰিসংখ্যা, কেলকুলাছ, আৰু আন বহু কিছু। শিক্ষাৰ্থীসকলৰ বাবে প্রস্তুতি আৰু পাঠ্যসূচীসহ পাঠ্যবইৰ সহজ ব্যাখ্যা।

প্ৰতিটো বিষয়ৰ বাবে SEBA-ৰ দ্বাৰা নিৰ্ধাৰিত পাঠ্যপুথি ব্যৱহাৰ কৰা হয়। এই পাঠ্যপুথিসমূহ SEBA-ৰ চৰকাৰী ৱেবছাইটত উপলব্ধ। 

 

 

NCERT Solutions Class 10 Adv. Mathematics Chapters and Solutions
HSLC Final Question Paper
	HSLC Final Question - 2022
	HSLC Final Question - 2023
	HSLC Final Question - 2024
	HSLC Final Question - 2025
	HSLC Final Question - 2026
	HSLC Final Question - 2027
1. সংহতি
	Rule
	MCQ প্ৰশ্নকাকত
	PYQ Question paper
	Exercise 1.1
	Exercise 1.2
	Exercise 1.3
	Exercise 1.4
2. জটিল সংখ্যা
	Rule
	MCQ প্ৰশ্নকাকত
	PYQ Question paper
	Exercise 2.1
	Exercise 2.2
	Exercise 2.3
	Exercise 2.4
	Exercise 2.5
3. অখণ্ড সংখ্যাৰ পাটীগণিত
	Rule
	MCQ প্ৰশ্নকাকত
	PYQ Question paper
	Exercise 3.1
	Exercise 3.2
	Exercise 3.3
	Exercise 3.4
	Exercise 3.5
4. দ্বিঘাত সমীকৰণ
	Rule
	MCQ প্ৰশ্নকাকত
	PYQ Question paper
	Exercise 4.1
	Exercise 4.2
	Exercise 4.3
5. সাধাৰণ ঘাতাংকৰ প্ৰয়োগ
	Rule
	MCQ প্ৰশ্নকাকত
	PYQ Question paper
	Exercise 5
6. বিন্যাস আৰু জোঁট
	Rule
	MCQ প্ৰশ্নকাকত
	PYQ Question paper
	Exercise 6.1
	Exercise 6.2
	Exercise 6.3
	Exercise 6.4
7. ত্ৰিকোণমিতি
	Rule
	MCQ প্ৰশ্নকাকত
	PYQ Question paper
	Exercise 7.1
	Exercise 7.2
	Exercise 7.3
8. সামতলিক জ্যামিতি
	Rule
	MCQ প্ৰশ্নকাকত
	PYQ Question paper
	Exercise 8.1
	Exercise 8.2
	Exercise 8.3
9. স্থানাংক জ্যামিতি
	Rule
	MCQ প্ৰশ্নকাকত
	PYQ Question paper
	Exercise 9.1
	Exercise 9.2
	Exercise 9.3

 

জটিল সংখ্যা (অনুশীলনী - 2.1 )

1. তলত দিয়াবিলাকৰ পৰা কাল্পনিক সংখ্যাবিলাক বাছি উলিওৱা -

(a) √-9
Solve :
   √-9
= √-1 x √9
= i3
.'. প্ৰদত্ত সংখ্যাটো কাল্পনিক সংখ্যা |

(b) √-7 x √5
Solve :
    √-7 x √5
= √-1 x √7 x √5
= i√35

.'. প্ৰদত্ত সংখ্যাটো কাল্পনিক সংখ্যা |

 

(c) √-3 x √-4
Solve :
    √-3 x √-4
= i√3 x i√4 ('.' √-1 = i)
= i√3 x i2 ('.' i.i = - 1)
= -2√3

.'. প্ৰদত্ত সংখ্যাটো কাল্পনিক সংখ্যা নহয়|

(d) √2√16
Solve :
    √2√16
= √32

.'. প্ৰদত্ত সংখ্যাটো কাল্পনিক সংখ্যা নহয় |

(e) i¹²
Solve :
    i¹²
= (i⁴)³
= i³
= 1

.'. প্ৰদত্ত সংখ্যাটো কাল্পনিক সংখ্যা নহয়|

 

(f) (√2√-1)⁸
Solve :
    (√2√-1)⁸
= (√2)⁸ x (√-1)⁸
= {(√2)²}⁴ x i⁸
= 16 x 1
= 16

.'. প্ৰদত্ত সংখ্যাটো কাল্পনিক সংখ্যা নহয়|

 

(g) (√-1√-5)³
Solve :
    (√-1.√-5)³
= (√-1)³ x (√5 x √-1)³
= i³ x i³ x (√5)³
= (- i) x (- i) x 5√5
= i². 5√5
= - 1 x 5√5
= - 5√5

.'. প্ৰদত্ত সংখ্যাটো কাল্পনিক সংখ্যা নহয়|

 

(h) (-i)³(-i)⁴
Solve :
     (-i)³.(-i)⁴
= {(- 1)³.(i)³}.{(- 1)⁴.(i)⁴}
= {(- 1). (i)².i}.{1.[(i)²]²}
= {(- 1).(- 1).i}.{1.(- 1)²}
= {i}.{1}
= i

.'. প্ৰদত্ত সংখ্যাটো কাল্পনিক সংখ্যা |

---

 

2. সৰল কৰা -
(i) i³⁵ + 1/i³¹
Solve :
    i³⁵ + 1/i³¹
= i³⁴.i + 1/i³⁰.i
= (i²)¹⁷.i + 1/(i²)¹⁵.i
= (-1)¹⁷.i + 1/(-1)¹⁵.i
=(-1).i + 1/(-1).i
= - i + 1/(-i)
= - i + i ('.' i = -1/i)
= 0

 

(ii) (1 +i)(1 + i)²
Solve :
    (1 +i)(1 + i)²
= (1 + i)(1 + 2i + i²)
= (1 + i)(1 + 2i - 1)
= (1 + i)(2i)
= 2i - 2
= 2(i - 1)

 

(iii) (1 + i)(1 + i²)(1 + i³)(1 + i⁴)
Solve :
    (1 + i)(1 + i²)(1 + i³)(1 + i⁴)
= (1 + i)(1 - 1)(1 + i².i)(1 + i².i²)
= (1 + i).0.(1 - 1)(1 + 1)
= 0

 

(iv) i³⁸ + i¹⁸
Solve :
    i³⁸ + i¹⁸
= (i²)¹⁹ + (i²)⁹
= (- 1)¹⁹ + (- 1)⁹
= - 1 + (- 1)
= - 1 - 1
= - 2

 

(v) 1√-1 x 2√-2 x 3√-3 x 4√-4
Solve :
    1√-1 x 2√-2 x 3√-3 x 4√-4
= 1.i x 2.(√-1.√2) x 3.(√-1.√3) x 4(√-1.√4)
= i.2.i.√2.3.i.√3.4.i.√4
= 48√6

 

YouTube Channel

Assam TET Academy	Subscribe Now
Assam Job Portal	Subscribe Now

 

3. তলৰ প্ৰতিটো সংখ্যা a + ib আৰ্হিত প্ৰকাশ কৰা -
(i) 2 - √-5
Solve :
    2 - √-5
= 2 - i√5
= 2 + i(-√5),  a + ib আৰ্হি

 

(ii) √-3 - √3
Solve :
     √-3 - √3
= i√3 - √3
= - √3 + -√3, a + ib আৰ্হি

 

(iii) 2 x √-2 x √-1
Solve :
2 x √-2 x √-1
= 2.i.√2.i.√1
= 2.(-1).√2
= -2√2 + i.0, a + ib আৰ্হি

 

(iv) 1/i x (-1)³/2
Solve :
1/i x (-1)³/2
= i/i² x (-1)/2
= i/(-1) x (-1)/2
= i/2
= 0 + i.(1/2), a + ib আৰ্হি

 

(v) (√-2 - √-3)²
Solve :
    (√-2 - √-3)²
= (√-2)² - 2.√-2.√-3 + (√-3)²
= (i√2)² - 2.√6 + (i√3)²
= (-1)2 - 2√6 + (-1).3
= - 2 - 2√6 - 3
= - 5 - 2√6
= (- 5 - 2√6) + i.0, a + ib আৰ্হি

 

(vi) √-6/√-2
Solve :
    √-6/√-2
= (i√6)/(i√2)
= (√2.√3)/(√2)
= √3
= √3 + i.0, a + ib আৰ্হি

 

(vii) (-1 x √-1)^{4n + 3}, য'ত এটা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা
Solve :
    (-1 x √-1)^{4n + 3}
= (-1 x i√1)^{4n + 3}
= (-i)^{4n + 3}
= (-i)⁴ⁿ x (-i)³
= (-i⁴)ⁿ x i
= 1 x i
= 0 + i, a + ib আৰ্হি

 

4. তলত দিয়াবিলাকৰ মান নিৰ্ণয় কৰা -

(b) 1 + i¹⁰ + i¹⁰⁰ - i¹⁰⁰⁰
Solve :
    1 + i¹⁰ + i¹⁰⁰ - i¹⁰⁰⁰
= 1 + (i²)⁵ + (i²)⁵⁰ - (i²)⁵⁰⁰
= 1 + (- 1)⁵ + (- 1)⁵⁰ - (- 1)⁵⁰⁰
= 1 - 1 + 1 - 1
= 0

 

---

 

5. (a) আটাইতকৈ সৰু ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা n নিৰ্ণয় কৰা যাৰ বাবে (1 + i)²ⁿ = (1 - i)²ⁿ সমতাটো সিদ্ধ হয়

Solve :
    (1 + i)²ⁿ = (1 - i)²ⁿ
⇒ {(1 + i)²}ⁿ = {(1 - i)²}ⁿ
⇒ (1 + 2i + i²)ⁿ = (1 - 2i + i²)ⁿ
⇒ (1 + 2i - 1)ⁿ = (1 - 2i - 1)ⁿ
⇒ (2i)ⁿ = (- 2i)ⁿ
⇒ (2i)ⁿ = (- 1)ⁿ(2i)ⁿ
⇒ 1 = (- 1)ⁿ
⇒ (- 1)² = (- 1)ⁿ
⇒ 2 = n
⇒ n = 2

 

(b) যদি n এটা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা তেন্তে দেখুওৱা যে (1 - i)ⁿ(1 - 1/i)ⁿ = 2ⁿ
Solve :
LHS = (1 - i)ⁿ(1 - 1/i)ⁿ
       = (1 - i)ⁿ.(1 + i)ⁿ ['.' i² = - 1]
       = {(1 - i)(1 + i)}ⁿ
       = (1 - i²)ⁿ
       = (1 + 1)ⁿ
       = 2ⁿ
       = RHS

.'. LHS = RHS

---

 

6. z₁ + z₂, z₁ - z₂ আৰু z₁z₂ নিৰ্ণয় কৰা, যদিহে z₁ আৰু z₂ তলত দিয়া ধৰণৰ হয়
(a) z₁ = 3 - 4i,
     z₂ = - 2 + i

Solve :
Given,
     z₁ = 3 - 4i,
     z₂ = - 2 + i,

 

.'. z₁ + z₂ = 3 - 4i + (- 2 + i)
= 3 - 4i - 2 + i
= 1 - 3i

 

.'. z₁ - z₂ = 3 - 4i - (- 2 + i)
= 3 - 4i + 2 - i
= 5 - 5i

 

.'. z₁.z₂ = (3 - 4i).(- 2 + i)
= - 6 + 3i + 8i - 4i²
= - 6 + 11i + 4
= - 2 + 11i

 

(b) z₁ = 2 - i,
     z₂ = - 2 - i

Solve :
Given,
     z₁ = 2 - i,
     z₂ = - 2 - i

.'. z₁ + z₂ = 2 - i + (- 2 - i)
               = 2 - i - 2 - i
               = - 2i

.'. z₁ - z₂ = 2 - i - (- 2 - i)
              = 2 - i + 2 + i
              = 4

 

.'. z₁.z₂ = (2 - i).(- 2 - i)
           = - 4 - 2i + 2i + i²
           = - 4 - 2i + 2i - 1
           = - 5

 

(c) z₁ = 1/2(3 - 5i),
    z₂ = 1/3(4 + 3i)

Solve :
Given,
      z₁ = 1/2(3 - 5i),
      z₂ = 1/3(4 + 3i)

 

(d) z₁ = 7 + 3i,
     z₂ = 3i - 7

Solve :
Given,
       z₁ = 7 + 3i,
       z₂ = 3i - 7

.'. z₁ + z₂ = 7 + 3i + 3i - 7
               = 6i

.'. z₁ - z₂ = 7 + 3i - (3i - 7)
              = 7 + 3i - 3i + 7
              = 14

.'. z₁.z₂ = (7 + 3i).(3i - 7)
            = 21i - 49 + 9i>sup>2 - 21i
            = - 49 - 9
            = - 58

 

(e) z₁ = (2 + 3i)(1 - 5i),
     z₂ = (1 + i)(3 - i)

Solve :
Given,
z₁ = (2 + 3i)(1 - 5i)
    = 2 - 10i + 3i + 15
    = 17 - 7i

 

z₂ = (1 + i)(3 - i)
    = 3 - i + 3i + 1
    = 4 + 2i

 

.'. z₁ + z₂ = 17 - 7i + 4 + 2i
               = 21 - 5i

 

.'. z₁ - z₂ = 17 - 7i - (4 + 2i)
              = 17 - 7i - 4 - 2i
              = 13 - 9i

 

.'. z₁.z₂ = (17 - 7i).(4 + 2i)
            = 68 + 34i - 28i + 14
            = 82 + 16i

 

 

7. তলত দিয়া প্ৰতিটো জটিল সংখ্যাকে ক্ৰমিক যোৰৰ যোগফল হিচাপে কৰা
[উদাৰণ হিচাপে, (α, β) = α(1, 0)+ β(0, 1) (Art. 2.2.1 চোৱা)]

(i) - 3 + 5i
Solve : - 3 + 5i
   = (- 3, 5)
   = - 3(1, 0) + 5(0, 1)

 

(ii) 3 + i√2

Solve : 3 + i√2
   = (3, √2)
   = 3(1, 0) + √2(0, 1)

 

(iii) - 4 - i√3

Solve : - 4 - i√3
    = - 4 + (-√3)i
    = (-4, -√)
    = - 4(1, 0) + (- √3)(0, 1)

 

 

(iv) 2
Solve : 2
   = 2 + i.0
   = (2, 0)
   = 2(1, 0) + 0(0, 1)

(v) 2 + √3
Solve : 2 + √3
     = (2 + √3) + i.0
     = (2 + √3, 0)
     = (2 + √3)(1, 0) + 0(0, 1)

(vi) 1/2(3 + 5i)
Solve : 1/2(3 + 5i)
     = 3/2 + (5/2)i
     = (3/2, 5/2)
     = 3/2(1, 0) + 5/2(0, 1)

 

8. যদি x = 3 + 4i আৰু y = 3 - 4i, তেন্তে তলত দিয়াবিলাকৰ নিৰ্ণয় কৰা -

(i) x² + xy + y²

Solve :
Given,
x = 3 + 4i
y = 3 - 4i

.'. x + y = 3 + 4i + 3 - 4i
            = 6 

 

x - y = 3 + 4i - (3 - 4i)
        = 3 + 4i - 3 + 4i
        = 8i

xy = (3 + 4i)(3 - 4i)
    = 9 - (4i)²
    = 9 + 16
    = 25

 

x² + xy + y²
= x² + 2xy + y² - xy
= (x + y)² - xy
= 6² - 25
= 36 - 25
= 11

 

 

(ii) x² - xy  + y²

Solve :
Given,
    x = 3 + 4i
    y = 3 - 4i

.'. x + y = 3 + 4i + 3 - 4i
            = 6 

 

x - y = 3 + 4i - (3 - 4i)
        = 3 + 4i - 3 + 4i
        = 8i

xy = (3 + 4i)(3 - 4i)
     = 9 - (4i)²
     = 9 + 16
      = 25

x² - xy  + y²
= x² - 2xy  + y² + xy
= (x - y)² + xy
= (8i)² + 25
= - 64 + 25
= - 39

 

(iii)

 

(iv) x³ + y³

Solve :
Given,
    x = 3 + 4i
    y = 3 - 4i

.'. x + y = 3 + 4i + 3 - 4i
            = 6 

 

x - y = 3 + 4i - (3 - 4i)
        = 3 + 4i - 3 + 4i
        = 8i

xy = (3 + 4i)(3 - 4i)
    = 9 - (4i)² 
    = 9 + 16
    = 25

 

x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²)
            = (x + y)(x² - 2xy + y² + xy)
            = 6.{(x - y)² + xy}
            = 6.{(8i)² + 25}
            = 6.(- 64 + 25)
            = 6.(- 39)
            = - 234

 

(v) x² + y²

Solve :
Given,
    x = 3 + 4i
    y = 3 - 4i

.'. x + y = 3 + 4i + 3 - 4i
            = 6 

 

x - y = 3 + 4i - (3 - 4i)
        = 3 + 4i - 3 + 4i
        = 8i

xy = (3 + 4i)(3 - 4i)
    = 9 - (4i)²
    = 9 + 16
    = 25

x² + y² = x² + 2xy + y² - 2xy
            = (x + y)² - 2xy
            = 6² - 2.25
            = 36 - 50
            = - 14

 

(vi) x³ - y³

Solve :
Given,
     x = 3 + 4i
     y = 3 - 4i

.'. x + y = 3 + 4i + 3 - 4i
            = 6 

 

x - y = 3 + 4i - (3 - 4i)
        = 3 + 4i - 3 + 4i
        = 8i

xy = (3 + 4i)(3 - 4i)
     = 9 - (4i)²
     = 9 + 16
     = 25

x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²)
           = (x - y)(x² + 2xy + y² - xy)
           = (x - y){(x + y)² - xy}
           = 8i.{6² - 25}
           = 8i. (36 - 25)
           = 8i. 11
           = 88i

 

9. যদি x = 1 - i তেন্তে দেখুওৱা x² - 2x + 2 = 0

Solve :
Given,
    x = 1 - i
⇒ x - 1 = - i
⇒ (x - 1)² = (- i)²
⇒ x² - 2x + 1 = - 1
⇒ x² - 2x + 2 = 0

---

 

10. উৎপাদকত প্ৰকাশ কৰা -
(i) x² + y²

Solve :
    x² + y²
= x² - (iy)²
= (x + iy)(x - iy)

 

(ii) a² - 1 - 2ai

Solve :
a² - 1 - 2ai
= a² + i² - 2.a.i
= (a - i)²
= (a + i)(a - i)

 

 

(iii) i6√2 - 7

Solve :
i6√2 - 7
= - 7 + i6√2
= (3i)² + (√2)² - 2.3i.√2
= (3i - √2)²
= (3i + √2)(3i - √2)

 

 

Study Materials (AssamTET.com)

Assam TET-LP	Assam TET-UP	CTET - Paper 1
CTET - Paper 2	ADRE Grade 3	ADRE Grade 4
Assam Police	D.El.Ed	Class 10
Asaam TET-GT	Assam TET-PGT	Class 12